АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ИГРЫ И ФОКУСЫ
Цепочка из 28 кубиков
Почему по правилам игры можно создать цепочку из 28 кубиков домино?
Начало и конец цепи
Когда 28 кубиков домино выстраиваются в цепочку, на одной стороне цепочки остается 5 очков.
Сколько очков на другом конце?
Ваш друг берет одну из доминошек и предлагает вам составить цепочку из 27 кубиков домино, уверяя вас, что это всегда возможно, независимо от того, какая из них взята. Сам он удаляется в смежную комнату, чтобы не видеть вашей цепи.
Вы приступаете к работе и убеждаетесь, что ваш собеседник прав: 27 кубиков составляют одну цепочку. Еще более удивительно
Чтобы ваш собеседник, находясь в соседней комнате и не видя вашей цепочки, объявил оттуда, какое количество очков находится на концах цепочки.
Откуда он может это знать? И почему он уверен, что каждые 27 кубиков домино образуют непрерывную цепь?
На рисунке 265 показана квадратная рамка, составленная из кубиков домино в соответствии с правилами игры. Боковые стороны рамы
равны по длине, но неравны по количеству очков: верхний и левый ряды содержат по 44 очка, два других ряда — 59 и 32 очка.
Можете ли вы построить квадратный ящик, на всех сторонах которого будет одинаковая сумма 44 точек?
Вы можете выбрать четыре кубика домино так, чтобы они образовали квадрат с равной суммой очков на каждой стороне. Пример показан на рисунке 266: сложение точек на каждой стороне квадрата даст 11 во всех случаях.
Можно ли одновременно составить семь таких квадратов из полного набора домино? Не обязательно, чтобы сумма точек на одной стороне была одинаковой для всех квадратов: достаточно убедиться, что каждый квадрат имеет одинаковую сумму точек на своих четырех сторонах.
Магические квадраты домино
На рисунке 267 показан квадрат из 18 кубиков домино, необычный тем, что сумма точек любого его ряда — продольного, поперечного или диагонального — одинакова: 13. Такие квадраты издавна называют магическими.
Вам предлагается сделать
Сколько одинаковых магических квадратов по 18 пунктов?
квадраты, но с разными
очков подряд. 13 — наименьшая сумма в ряду магического квадрата, состоящего из 18 кубиков. Наибольшая сумма — 23.
Прогрессия от домино
На рис. 268 вы видите шесть кубиков домино, расположенных по правилам игры и отличающихся тем, что количество очков на плитках (на двух половинках каждой плитки) увеличивается на единицу: начиная с 4, ряд состоит из.
4; 5; 6; 7; 8; 9.
Ряд чисел, которые увеличиваются (или уменьшаются) на одно и то же значение, называется "арифметической прогрессией". В нашей серии каждое число в
На рис. 268 число на единицу больше предыдущего; но любая другая разница в прогрессии также может быть единицей.
Задача состоит в том, чтобы придумать несколько последовательных 6-балльных прогрессий.
Игра 15", или "взято".
Известная коробка с 15 пронумерованными квадратными шашками имеет интересную историю, о которой мало кто знает. Мы рассказываем эту историю словами немецкого исследователя-математика игр В. Аренса.
"Около полувека назад — в конце 1970-х годов — в Соединенных Штатах появилась "игра 15-х"; она быстро распространилась и, благодаря неисчислимому количеству жестко настроенных игроков, которых она поглотила, превратилась в настоящую социальную катастрофу.
То же самое было и по эту сторону океана, в Европе.
Здесь можно было даже увидеть коробки с 15 драхмами в руках пассажиров конных экипажей. В офисах и магазинах владельцы отчаялись в увлечении своих сотрудников и вынуждены были запретить им играть в рабочее и торговое время. Бизнесмены, занимающиеся развлечениями, ловко использовали эту манию и организовывали крупные игорные турниры. Игра проникла даже в торжественные залы немецкого Рейхстага. "Я до сих пор вижу седовласых людей в Рейхстаге, пристально смотрящих на квадратную коробку, которую они держали в руках", — вспоминает Зигмунд Гюнтер, известный географ и математик, который был членом парламента во время эпидемии азартных игр.
В Париже игра нашла пристанище под открытым небом, на бульварах, и быстро распространилась из столицы в провинции. "Не было ни одной уединенной фермы, где бы не гнездился этот паук, поджидая жертву, готовую запутаться в его паутине", — писал один французский автор.
В 1880 году лихорадка азартных игр, похоже, достигла своего пика. Но вскоре после этого тиран был обращен вспять и побежден оружием математики. Математическая теория игр обнаружила, что из множества проблем, которые можно предложить, только половина разрешима; другая половина не разрешима никакими уловками.
Стало понятно, почему другие задачи не поддавались самым напряженным усилиям и почему организаторы турнира осмелились присудить огромные призы за решение этих задач. В этом отношении изобретатель игры превзошел всех остальных, предложив неразрешимую задачу в воскресном приложении издателю нью-йоркской газеты с призом в 1000 долларов за ее решение; поскольку издатель колебался, изобретатель выразил полную готовность заплатить указанную сумму из собственного кармана. Имя изобретателя — Сэмюэль (Сэм) Лойд. Он прославился как составитель умных задач и многочисленных головоломок. Интересно, что ему не удалось получить патент в Америке на свою игру. Согласно инструкции, он должен был представить "рабочую модель" доказательной партии; он предложил проблему сотруднику патентного бюро, и когда тот спросил, можно ли ее решить, изобретатель должен был ответить: "Нет, это математически невозможно". "В таком случае, — возражали они, — не может быть рабочей модели, а без модели не может быть патента". Лойд был удовлетворен этим решением, но, возможно, он был бы более решительным, если бы предвидел неслыханный успех своего изобретения. "1
1 Этот эпизод был использован Марком Твеном в его романе "Американский соперник".
Вот рассказ самого изобретателя о некоторых фактах из истории этой игры:
"Давние обитатели царства изобретательности, — пишет Лойд, — помнят, что в начале 1970-х годов я подарил миру головную боль из-за подвижной шахматной доски, известной как "15 игра". 15 фигур были помещены в квадратную коробку в правильном порядке, причем переставлены были только шахматные доски 14 и 15, как видно из сопроводительной иллюстрации (рис. 270). Задача состояла в том, чтобы вернуть шашки в их нормальное положение, перемещая их по одной, но порядок шашек 14 и 15 должен был быть исправлен.
Простые Математические Игры, или Насколько вы Хороши в Математике?
Рисунок 269. нормальный
Рис. 270. неразрешимая .
Кейс (позиция II).
Математические игры и фокусы
Приз в 1000 долларов, предложенный за первое правильное решение задачи, не достался никому, хотя все неустанно трудились над ее решением. Рассказывали забавные истории о купцах, которые из-за этого забыли открыть свои магазины, о маститых чиновниках, которые всю ночь простояли под фонарем в поисках решения. Никто не хотел отказываться от поиска решения, поскольку все были уверены, что успех находится в пределах досягаемости. Говорят, что из-за игры штурмовики сажали свои корабли на мель, машинисты поездов пропускали поезда мимо станций, фермеры бросали свои плуги".
Давайте познакомим читателя с истоками теории этой игры. В своем полном виде она очень сложна и тесно связана с одной из ветвей высшей алгебры ("теория детерминантов"). Мы
ограничимся некоторыми соображениями, высказанными В. Аренсом.
"Цель игры обычно состоит в том, чтобы изменить любое начальное расположение 15 шашек в нормальное расположение, то есть в такое, в котором шашки расположены в порядке их номеров: в левом верхнем углу 1, затем 2, затем 3, затем в правом верхнем углу 4; в следующем ряду слева направо: 5, 6, 7, 8 и так далее. Это обычная окончательная схема, которую мы приводим здесь на рисунке 269.
Теперь представьте себе аранжировку с 15 частями в пестром беспорядке. Путем серии ходов всегда можно привести шашку 1 на то место, которое она занимает в квадрате.
Таким же образом, шашка 1 может быть перемещена, не трогая шашку 2, на соседнее место справа. Затем, не трогая 1 и 2, 3 и 4 можно переместить в исходное положение; если только они не находятся в двух последних вертикальных рядах, их легко перенести в эту область и затем серией перемещений добиться желаемого результата. Верхний ряд 1, 2, 3, 4 теперь в порядке, и мы не будем трогать этот ряд в дальнейших манипуляциях. Таким же образом мы пытаемся привести в порядок второй ряд: 5, 6, 7, 8; легко видеть, что это всегда достижимо. Далее, в пространстве двух последних рядов, шахматные фигуры 9 и 13 должны быть приведены в нормальное положение; это тоже всегда возможно. Из всех перемещенных фигур 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 ни одна не движется дальше; остается небольшая область из шести квадратов, в которой один свободен, а остальные пять заняты фигурами 10, 11, 12, 14, 15 без определенного порядка. В этой зоне площадью шесть квадратов всегда можно вернуть шашки 10, 11, 12 в их нормальные позиции. Когда это сделано, последний ряд размещает шашки 14 и 15 либо в обычном, либо в обратном порядке (рис. 270). Таким образом, как легко может убедиться читатель, получается следующий результат.
Каждое исходное положение может быть сведено к расположению на рисунке 269, положение I, или на рисунке 270, положение II.
Если определенная позиция, которую для краткости обозначим S, может быть преобразована в позицию I, то, конечно, возможно и обратное преобразование — преобразование позиции I в позицию S. Наконец, все перемещения шашек обратимы: если, например, в схеме I мы можем поместить шашку 12 на пустой
тогда мы можем немедленно отменить это движение противоположным движением.
Итак, у нас есть две серии раскладок, такие, что позиции одной серии могут быть перемещены в нормальное положение I , а другой серии — в положение II . И наоборот, любая позиция первой серии может быть получена из обычной раскладки, а любая позиция второй серии — из раскладки II. Наконец, любые две аранжировки, принадлежащие к одной серии, могут быть переведены друг в друга.
Нельзя ли пойти дальше и объединить эти две аранжировки I и II? Можно строго доказать (мы не будем вдаваться в подробности), что эти позиции не превращаются друг в друга ни за какое количество ходов. Следовательно, все огромные количества штучных позиций попадают в две отдельные серии: (1) те, которые могут быть преобразованы в нормальную позицию I — это решаемые позиции; (2) те, которые могут быть преобразованы в позицию II и, следовательно, не могут быть преобразованы в нормальную позицию в любом случае — это позиции, для которых существуют огромные бонусы за их решение.
Как узнать, относится ли местоположение к серии I или II? Пример поможет прояснить это.
Рассмотрим расположение, показанное на рисунке 271.
